Toli Sous le Manguier

On suppose (comme c’est souvent le cas) que l’énergie potentielle est indépendante du temps. On cherche les solutions sous la forme Ψ(r,t) = f(t)ψ(r). En injectant dans l’équation (1.3) et en divisant par Ψ on trouve :
f ̇(t) 1􏰆 􏰀2 􏰇 i􏰀f(t) = ψ −2m∆ψ + Ep(r)ψ
. (1.4)
Comme le membre de gauche ne dépend que du temps et que celui de droite ne dépend que de la position, ces deux membres sont nécessairement constants. On doit appliquer une condition qui vient de la physique. Nécessairement, tant que le particule existe, on doit pouvoir la trouver quelque part dans l’espace, ce qui fait que l’on a, quelque soit t :
􏰐􏰐
dr|Ψ(r,t)|2 =|f(t)|2 dr|ψ(r)|2 =1 (1.5)
ce qui impose que |f(t)| =constante. On peut choisir cette constante égale à 1 (en la faisant rentrer dans ψ, et donc f(t) = exp(iφ(t)). En reportant dans l’équation (1.4), on doit donc avoir φ ̇ =constante. On note cette constante −ω, ce qui fait que la fonction f(t) = exp(−iωt), et on trouve :
􏰆􏰀2 􏰇
􏰀ωψ= −2m∆ψ+Ep(r)ψ . (1.6)
D’après la relation de Planck E = hν, où ν = ω/2π est la fréquence, on voit que le membre de gauche de l’équation (1.6) fait intervenir l’énergie de la particule, et l’on obtient finalement l’équation de Schrödinger indépendante du temps (ou stationnaire) :